J'ai presque les mêmes formules que toi dans le repère que tu appelles et que je préfère appeler, notation traditionnelle pour ce repère de Frenet :

Seuls les signes diffèrent. C'est dû d'une part le repère de Frenet doit être direct, dont si est vers la droite, doit être vers le haut, d'autre part à ce queest compté positif pour une trajectoire montante, ce qui nécessaire pour que tes formules :

soient correctes.

Ensuite tu écris comme , ce que je conserve, et comme , mais pour avoir des équation ne faisant intervenir que et je préfère l'exprimer comme , ce qui donne :

ou encore :

On voit là que si on sait déterminer et connaissant , on a là un système différentiel du premier ordre en .

et sont donnés par les formules :

et pourraient se déduire de la polaire aérodynamique et de l'incidence si on connaissait les deux, mais ce n'est pas le cas. On va déterminer d'une part des valeurs initiales pour etdéduites à partir des données de départ, d'autre part leur évolution à partir de l'évolution de l'incidence, elle même déduite de celles de l'assiette et la pente, moyennant une hypothèse simplificatrice sur la polaire aérodynamique. Cette dernière consiste à considérer que le coefficient est somme d'un terme fixe et d'un terme de trainée induite proportionnel au carré du coefficient :

Les deux coefficients et (comme coefficient de trainée induite) sont déterminés à partir des caractéristiques du planeur : finesse max et vitesse de finesse max. En effet tous les autres termes dans l'équation d'équilibre pour cette vitesse étant connus, on en déduit , puis , leur rapport étant la finesse, puis on remarque que dans l'équation ci-dessus les 2 termes du second membre doivent être égaux dans les conditions de la finesse max, ce qui permet de les déterminer tous les deux.

L'evolution de et s'obtient, pour en considérant qu'il varie proportionnellement à l'incidence, avec un coefficient :

étant l'incidence et l'allongement, pour en utilisant la formule de polaire simplifiée ci-dessus.

La variation de l'incidence s'obtient à partir de celles de la pente et de l'assiette :

le signe – pour la pente résultant des conventions vues plus haut.

L'assiette elle-même est supposée imposée par le pilotage, variant d'une quantité pendant la durée au début, puis restant constante ensuite. Pour ne pas avoir de discontinuité dans la dérivée de l'assiette, un loi de variation sinusoïdale, ou plutôt cosinusoïdale a été adoptée :

La connaissance de n'est pas nécessaire puisque que seule la variation de importe, obtenue en différentiant l'équation précédente :

Finalement les coordonnées x et z qui valent toutes deux zéro au départ par convention s'obtiennent par leur variations :

Tout le calcul de la simulation ensuite se fait en assimilant les différentielles des diverses variables à leur variation finie sur la durée d'un pas de calcul, choisi par défaut à une milliseconde.

Robert Ehrlich

2012-01-24T16:04:13